Алгебра 2016/2017 ПИ

Вики для первокурсников 2017-2018

Преподаватели

Группа 1 2 3 4 5
Лектор Чернышев Всеволод Леонидович Чернышев Всеволод Леонидович Чернышев Всеволод Леонидович Чернышев Всеволод Леонидович Чернышев Всеволод Леонидович
Семинарист Пионтковский Дмитрий Игоревич Гайфуллин Сергей Александрович Пионтковский Дмитрий Игоревич Ломоносов Тимофей Александрович Чернышев Всеволод Леонидович

Расписание занятий

Лекция - Пятница, 13:40-15:00 , аудитория 622.

Группа ПН ВТ СР ЧТ ПТ СБ
161 13:40-15:00 (Каб 219)
162 15:10-16:30 (Каб 300)
163 12:10-13:30 (Каб 219)
164 12:10-13:30 (Каб 400)
165 15:10-16:30 (Каб 402)

Консультации

Расписание консультаций (ассистенты и возможное время)

Ассистенты ПН ВТ СР (Каб 304) ЧТ (Каб 304) ПТ (Каб 304)
Соловьев Егор 13.40 - 15.00 10.30-11.50
Копаева Аня 15.10 - 16.30 16.40 - 18.00
Свитанько Елизавета 16.40 - 18.00 (Каб 306) 13.40 - 15.00
Коровина Ксения 16.40 - 18.00 (Каб 306) 18.10 - 19.30
Пушкарёва Ольга 18.10 - 19.30 15.10 - 16.30

Для посещения консультации нужно: 1) записаться и 2) отправить свой вопрос.

Расписание консультаций (ссылка на таблицу с записью на консультацию)

Выберите желаемое время и запишитесь в таблицу. Запись на консультацию осуществляется не менее чем за 12 часов до ее проведения.

Запись на консультацию

Задайте свой вопрос для обсуждения на консультации

Форма для отправки вопроса или темы для обсуждения


Краткое содержание уже прочитанных лекций

Лекция (09.09.2016). Системы линейных алгебраических уравнений. Операции над матрицами: сложение, умножение на число, транспонирование и умножение. Свойства операций над матрицами: сложения и умножения на скаляр, транспонирования, умножения. Единичная матрица.

Лекция (16.09.2016). Некоммутативность умножения матриц. Симметрические и кососимметрические матрицы. Ступенчатый вид матрицы и канонический вид матрицы. Элементарные преобразования строк матрицы. Теорема о методе Гаусса. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Свободные переменные.

Лекция (23.09.2016). Перестановки и подстановки. Инверсии. Транспозиции. Знак и чётность перестановки и подстановки. Общая формула для определителя произвольного порядка. Свойства определителя, в частности: линейность, кососимметричность, разложение определителя по строке (столбцу) и фальшивое разложение, вычисление определителя верхнетреугольной матрицы. Дополняющий минор, алгебраическое дополнение. Определитель произведения двух квадратных матриц. Способы вычисления определителей.

Лекция (30.09.2016). Утверждение о том, что любая функция от столбцов матрицы является определителем, если она линейна по каждому аргументу, кососимметрична и принимает значение 1 на единичной матрице, для случая квадратной матрицы 2-го порядка. Формулы Крамера для квадратной матрицы произвольного порядка. Союзная матрица. Обратная матрица. Критерий существования и формула для нахождения обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Матричные уравнения AX = B, XA = B.

Лекция (07.10.2016). Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Критерий линейной зависимости. Свойства ранга матрицы. Теорема о базисном миноре.

Лекция (14.10.2016). Следствия теоремы о базисном миноре (теорема о ранге матрицы и критерий невырожденности квадратной матрицы). Вычисление ранга матрицы: элементарные преобразования и метод окаймляющих миноров. Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

Лекция (21.10.2016). Критерий существования ненулевого решения однородной системы линейных уравнений с квадратной матрицей. Фундаментальная система решений (ФСР) однородной системы линейных уравнений. Теорема о существовании ФСР. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений.

Лекция (11.11.2016). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Векторы в трехмерном пространстве: алгебраические свойства линейных операций (сложения векторов и умножения вектора на число). Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Правый и левый базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление длины вектора и угла между векторами. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве.

Лекция (18.11.2016). Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов.
Смешанное произведение векторов, его свойства. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат.

Лекция (19.11.2016). Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка.
Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой.

Лекция (25.11.2016). Канонические уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две точки. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости. Вычислений расстояний: от точки до прямой и между двумя прямыми. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента. Сложение, умножение комплексных чисел. Формула Муавра.

Лекция (02.12.2016). Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Основная теорема алгебры. Теорема Безу. Формулы Виета. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Формула Эйлера.

Лекция (09.12.2016). Бинарные операции. Ассоциативные и коммутативные операции. Полугруппа и моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Абелева группа. Подгруппа. Циклическая группа. Порядок элемента. Связь порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Таблица Кэли. Изоморфизм групп.

Лекция (16.12.2016). Три свойства изоморфизма. Теорема о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Теорема Кэли (без доказательства). Гомоморфизм. Ядро гомоморфизма. Прямое произведение групп. Примеры групп: группа кватернионов, группа диэдра, знакопеременная группа. Транспозиции. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и три её следствия. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Естественный гомоморфизм. Теорема о гомоморфизме.

Лекция (13.01.2017). Доказательство теоремы Кэли. Доказательство теоремы о гомоморфизме групп. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Подкольцо. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов. Коммутативное кольцо.

Лекция (20.01.2017). Делители нуля и обратимые элементы. Целостное кольцо. Критерий целостности для нетривиального коммутативного кольца с единицей. Подкольцо, порожденное множеством. Кольцо многочленов от одной переменной. Деление многочленов с остатком. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Двусторонний идеал. Главный идеал. Гомоморфизм колец. Факторкольца. Теорема о гомоморфизме колец, пример. Поле, подполе: примеры. Простое поле. Два определения характеристики поля. Расширение поля. Расширение поля, полученное с помощью присоединения элемента, пример. Поле частных. Теорема о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем (формулировка).

Лекция (27.01.2017). Линейное (векторное) пространство: аксиомы. Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций, пространство решений однородной СЛАУ. Базис, размерность, координаты вектора в базисе, запись операций над векторами в координатах. Изоморфизм конечномерных векторных пространств. Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Подпространства в линейном пространстве.

Лекция (03.02.2017) Линейная оболочка конечного набора векторов и ее размерность. Теорема о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат. Сумма и прямая сумма подпространств. Пересечение подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Линейные отображения и преобразования (операторы) линейных пространств. Матрица линейного оператора. Теорема о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора. Действия над линейными отображениями.

Лекция (10.02.2017) Преобразование матрицы линейного отображения при замене базисов. Ядро и образ (множество значений) линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного оператора. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Спектр. Собственное подпространство. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы. Инвариантность характеристического многочлена. Утверждение о том, что число принадлежит спектру тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена (над алгебраически замкнутым полем). Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения и неравенство, их связывающее (без доказательства). След матрицы.

Лекция (17.02.2017) Инвариантность следа матрицы линейного оператора. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Утверждение о том, что матрица линейного оператора диагональна тогда и только тогда, когда записана в базисе из собственных векторов. Диагонализируемость. Критерий диагонализируемости. Достаточное условие диагонализируемости. Формулировка теоремы о жордановой нормальной форме матрицы оператора. Евклидово пространство, аксиомы скалярного произведения. Примеры. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника.

Лекция (03.03.2017) Ортогональная система. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Ортогональный и ортонормированный базисы. Алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта. Существование ортонормированного базиса в любом конечномерном пространстве. Матричная запись скалярного произведения. Матрица Грама и 4 её свойства: 1) симметричность и положительная определенность, 2) формула для преобразования матрицы Грама при переходе к новому базису, 3) положительность определителя, 4) инвариантность определителя матрицы Грама относительно процесса ортогонализации Грама-Шмидта. Ортогональное дополнение. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая. Ортогональное дополнение к ортогональному дополнению.

Лекция (04.03.2017) Пятое свойство матрицы Грама: критерий невырожденности. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство. Расстояние между вектором и подпространством. Формула для расстояния через определители матриц Грама. Теорема Гамильтона-Кэли (формулировка). Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор. Теорема о существовании сопряженного оператора. Формула для матрицы сопряженного оператора. Самосопряженные (симметрические) операторы. Критерий самосопряженности оператора. Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих разным собственным значениям. Вещественность собственных значений самосопряженного оператора. Теорема о существовании для самосопряженного оператора ортонормированного базиса из собственных векторов (формулировка).

Лекция (10.03.2017) Доказательство теоремы о существовании для самосопряженного оператора ортонормированного базиса из собственных векторов в случае различных вещественных собственных значений. Ортогональные матрицы и их четыре свойства. Ортогональные операторы. Теорема о том, что ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный и верно обратное. Критерий ортогональности оператора, использующий его матрицу. Утверждение о том, что матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису ортогональна. Теорема о том, что для любой симметрической матрицы найдется подобная ей диагональная матрица, а подобие будет осуществляется с помощью ортогональной матрицы. Теорема о сингулярном разложении. Утверждение о QR-разложении. Определение квадратичной формы и матрицы квадратичной формы.

Лекция (17.03.2017) Утверждение о полярном разложении. Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса. Теорема об инвариантности ранга квадратичной формы. Положительно (отрицательная) определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Канонический и нормальный виды квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому (нормальному) виду методом выделения квадратов (алгоритм Лагранжа). Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции. Приведение квадратичных форм к диагональному виду (к главным осям) при помощи ортогональной замены координат. Определение эллипса.

Лекция (24.03.2017) Кривые второго порядка. Определение эллипса, гиперболы, параболы, их параметры (в частности, эксцентриситет). Вывод уравнения параболы. Исследование алгебраического уравнения второго порядка от двух переменных. Поверхности второго порядка (обзор). Поверхность вращения, цилиндрическая поверхность, линейчатая поверхность. Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, параболический цилиндр. Эллипсоид, однополостной гиперболоид, двуполостной гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид.


Программа курса

Формы контроля

Контрольная работа после 1-го модуля

Материалы для подготовки:

К теоретической части
Типовые задачи

Экзамен после 2-го модуля

Вопросы для подготовки к теоретической части экзамена во 2-м модуле 2016/2017-ого учебного года
Задачи для подготовки к экзаменационной работе во 2-м модуле 2016/2017-ого учебного года

Контрольная работа в 3-м модуле

Задачи для подготовки к контрольной работе в 3-м модуле

Экзамен в 3-м модуле

Программа для подготовки к устной части экзамена
Вопросы с доказательством для подготовки к устной части экзамена
Задачи для подготовки к экзамену


По всем организационным вопросам обращайтесь по адресу: moc.spuorgelgoog|71arbegla#moc.spuorgelgoog|71arbegla


Пока не указано иное, содержимое этой страницы распространяется по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License